用Python算一算n阶乘的末尾有几个零

这是Lintcode第二题,原题在此 尾部的零。题目虽然标为“简单”,但答对率却不高。

看到这一题,比较直观的想法是计算从1到n的连乘,但这样很容易溢出,因为乘起来的数字太大。

换一个思路,我们将n阶乘做质因数分解,将n阶乘表示成

\(n! = a \times 2^{m} \times 5^{k}\)

其中a, m, n都是非负整数,且a不能被2和5整除。

上面的表达式中,每一对2和5都贡献了一个末尾的零,所以我们只要知道n的阶乘中有多少个因子2,有多少个因子5,求两者的最小值 \(min(m, k)\) 就是末尾零的个数了。

我们先来看一下n的阶乘有多少个因子5。

\(n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n\)

从1到n中,每一个5的倍数都至少贡献了一个5,比如数字5,10,15,都贡献了一个5。每个 \(5^{2}\) 的倍数都至少贡献了两个5,比如数字25,50。所以n的阶乘中包含的5的因子的个数,可以用下面的表达式来计算

\(k = \left[ n/5 \right] + \left[ n/5^{2} \right] + \left[ n/5^{3} \right] + ...\)

同样的,n的阶乘包含的2的因子的个数可以用下面的表达式计算

\(m = \left[ n/2 \right] + \left[ n/2^{2} \right] + \left[ n/2^{3} \right] + ...\)

很显然 m > k。前面说过,末尾零的个数是 \(min(m, k)\) 也就是k了。

理解了上面的步骤,接下来就可以用代码来实现算法了,如下

def trailing_zero_num(n):
    num = 0

    while True:
        n = int(n / 5)
        if n == 0:
            break
        num = num + n

    return num

代码其实很简单。我们来思考两个问题

  1. 上面的代码的算法复杂度是多少?
  2. 上面的代码中用到了这样一个假设: \(\left[ n/5^{i} \right] = \left[ \left[ n/5^{i-1} \right] /5\right]\),大家可以试试看能不能证明这个公式。